New PDF release: Algebra — aller Anfang ist leicht

By Peter Göthner, Herbert Kästner

ISBN-10: 3322003825

ISBN-13: 9783322003829

ISBN-10: 332293036X

ISBN-13: 9783322930361

"Gebranntes style scheut das Feuer", und zwar scheut es jedes Feuer, obgleich es sich nur an einem ganz bestimmten gebrannt hat: es hat seine Erfahrungen verallgemeinert. Wir wollen in diesem Büchlein viele unserer Erfahrungen mit der Mathematik verallgemeinern. Beispielsweise werden wir sehen, daß der Einteilung aller Brüche in Klassen quotientengleicher Brüche, der Dreiecke in Klassen kongruenter Dreiecke oder der Einteilung linearer Gleichungssysteme in Klassen äquivalenter Systeme das gleiche Denkprinzip zugrunde liegt. Diese inter­ essanten Analogien und überraschenden Zusammenhänge zwischen scheinbar weit auseinanderliegenden Gebieten wer­ den uns ermöglichen, mathematische Inhalte zu ordnen und zu systematisieren. Solche Analogien bemerken wir auch bei der Untersuchung der Eigenschaften von Rechenoperationen in gewissen Mengen; z. a. gehorchen die Multiplikation rationaler Zahlen, die Addition von Vektoren, die Nacheinanderausführung von Drehungen um einen festen Punkt der Ebene, die Addition von Funktionen nahezu demselben "Regelwerk". Offenbar ist es nicht so wesentlich, womit guy rechnet, sondern vielmehr wie guy rechnet, und als sehr fruchtbar erweist sich die Idee, von der konkreten Natur der Elemente der Menge, der konkreten inhaltlichen Deutung der Operationen abzusehen und Mengen irgendwelcher Elemente zu betrachten, in denen irgendwelche Operationen definiert sind, die bestimmten wohldefinierten Regeln genügen sollen. Dies führt zum Begriff der algebraischen Struktur, und die konkreten Mengen mit konkreten, jenen Regeln gehorchenden Operationen sind dann Modelle für diese Struktur.

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Respektieren die Erben dann seinen Willen, gibt es keine Unstimmigkeiten über die Aufteilung des Erbgutes. Das ver anlaßt uns zu überlegen, welchen Prinzipien eine Einteilung oder Zerlegung einer Menge M in Teilmengen, die man dann Klassen nennt, gehorchen muß. Zuerst ist natürlich darauf zu achten, daß jedes Element der Menge M einer der Klassen zugeordnet wird, d. , daß bei der Einteilung von M in Klassen alle Elemente erfaßt werden. Dies hat Onkel Theodor wohl bedacht. Hingegen können wir die Untergliederung der ganzen Zahlen G in positive ganze Zahlen und negative ganze Zahlen nicht als Zerlegung von G akzeptieren, da hier die Zahl 0 übersehen wurde.

Durch die Verdoppelung der Silbe "ein" soll angedeutet werden, daß die Abbildung "in bei den Richtungen eindeutig" ist. Ein Beispiel dafür ist die Abbildung f: P -+ P mit f = {(x, x 3 ) I XE P}. Für diese schreibt man häufig kurz fex) = x 3 , da die Zuordnungsvorschrift, die jedem XE Vbf eindeutig sein Bild y =x 3 E Nbf zuordnet, durch einen Rechenausdruck, auch Funktionsgleichung genannt, vermittelt werden kann. Jedoch müssen aber Funktion fund ihre Gleichung, etwa y = fex), streng voneinander unterschieden werden; es ist f= {(x,y) I xEVbf und y =f(x)}.

Z. w. " Wir fragen: Bei Gültigkejt welcher Eigenschaften für eine Relation R kann man dieses Schlußverfahren auch auf R anwenden? 2: Für eine symmetrische und tran~itive Relation R in M gilt: Aus xRz und yRz folgt stets xRy (Drittengleichheit). I I Beweis: Es seien x, y, z beliebige Elemente von M mit xRz und yRz. Wegen der Symmetrie von R kann man von (xRz und ylq) übergehen zu (xRz und zRy), woraus wegen der Transitivität von R sofort xRy folgt. w. z. b. W. Umgekehrt folgen, allerdings nur für reflexive Relationen, aus der Drittengleichheit auch Symmetrie und Transitivität.

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Algebra — aller Anfang ist leicht by Peter Göthner, Herbert Kästner


by Kevin
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